高等代数研究对象

高等代数是用来解方程的，最开始我们学习的是一元一次方程，然后自然的延伸到一元高次方程，这也就是经典代数学研究的对象，就是用一个未知量到高次数的一个方向发展。

另一个方向便是多元一次方程。n元一次方程组的求解过程可以简化为对一个矩阵进行初等行变换的过程。

对于一个三元一次方程组

如果我们固定它的未知量的位置，实际上我们只在对未知量的系数和常数项进行运算，我们便可简写为矩阵的形式：s×n个数排成的s行n列的一张表就叫做一个s×n矩阵。

矩阵通常用大写字母表示，比如A。如果矩阵只包含方程组的系数，则矩阵A就称为n元线性方程组的系数矩阵，如果还包括常数项，则称为n元线性方程组的增广矩阵。

知识图谱：

在如今，由于计算机的发展，使得n元线性方程组变得可解，所以使得n元线性方程组变得很重要，因此高等代数研究对象的出发点就是n元线性方程组。之后我们要研究他的解法，因此我们需要用到矩阵的概念。

但在面对一个比较大，比较复杂的方程组时，我们最好先知道方程组解的情况，是有唯一解，无穷多解，还是无解，否则对于比较复杂的方程要算完才知道有没有解就太麻烦了，所以对于解的情况的判别很重要。对于一个一个2元或3元的方程组，我们可以自然的想到用方程组在平面或空间对应的线或面的相交，重合，平行的情况来对应方程组的唯一解，无穷多解，还是无解。对于n>4的线性方程组，没有相对的物理空间来对应，但可以使用n维向量空间来研究n元线性方程组解的情况的判别。

在n维向量空间中，同样也有向量的加减乘除等操作和对应的计算性质和规律，对于n维向量空间的共同性质，可以再抽象出一般的线性空间的概念。

在线性空间中，线性映射是非常重要的一部分，而线性映射可以用来研究矩阵，矩阵同样也可以用来研究线性映射。

而对线性空间中的向量要进行度量，则要讨论双线性函数和具有度量的线性空间。其中在实数域上的有度量的线性空间叫欧几里得空间，在复数域上的有度量的线性空间叫酉空间。

空间到自身的线性映射叫线性变换。在欧几里得空间中与度量有关的线性变换叫正交变换，对称变换，在酉空间中与度量有关的线性变换叫酉变换，Hermite变换等。

这张图主要是描述的是高等代数的线性代数的部分，线性代数的主线是：研究线性空间和线性映射。

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graph TD;
    n元线性方程组-->n维向量空间;
    n元线性方程组-->矩阵;
    n维向量空间-->线性空间;
    线性空间-->线性映射;
    线性空间-->双线性函数;
    线性空间-->具有度量的线性空间;
    双线性函数-->具有度量的线性空间;
    线性映射-->矩阵;
    矩阵-->线性映射;
    线性映射-->具有度量的线性变换;

​ 高等代数的其他的发展方向还有一元高次方程的求根。

​ 要研究一元多项式的配方，就要研究一元多项式环的结构。

​ 其中伽罗瓦在研究高次方程组是否有解时提出了域和群的概念。

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graph TD;
    一元高次方程的求根-->一元多项式环;
    一元高次方程的求根-->域的概念;
    一元高次方程的求根-->群的概念;
    一元多项式环-->环的概念;
    环的概念-->域的概念;
    域的概念-->群的概念;

线性方程组的矩阵消元法

如何让计算机可以对任意的n元一次方程组进行求解？下面要说的通用的n元线性方程组的求解方法：将n元线性方程组的增广矩阵化为简化阶梯形矩阵的过程，便是答案。

我们用一个例子来展示可以让计算机对任意的n元一次方程组进行求解的解法的过程。

例1 解线性方程组

我们首先把除第一个方程外的其他方程的第一个未知量的系数化为0（如果第一个方程的$x_1$的系数为0，则将除第一个方程外第一个$x_1$的系数非0的方程移到第一个）：

为了计算方便，我们把第二个方程和第四个方程位置调换

同样的，把第二个方程下的方程的$x_2$的系数化为0：

同样的，把第三个方程下的方程的$x_3$的系数化为0：

方程组对应的增广矩阵的变化如下：

由此，我们得到了阶梯行方程组和阶梯型矩阵。

阶梯型矩阵的定义如下：

  • 0行在下方
  • 主元（首非0元）的列指标随着行指标的增加而严格增大

如果再把主元都化为1，主元所在的列的其他数都化为0，就变成了简化型阶梯型矩阵。

简化型阶梯型矩阵对应的方程组如下：

$\begin{cases}
x{1} =3 \
x{2} =-1\
x_{3}=2
\end{cases}$

我们观察到，在变换增广矩阵时，我们的操作有如下三种

  1. 把一行的倍数加到另一行
  2. 两行互换
  3. 一行乘以一个非零数

这三种操作叫矩阵的初等行变换。

显然，经过初等方程组变换后的方程组和原方程组同解。因此，原方程组有唯一解(3,-1,2)。

下面我们再看另外一个例子：

例2 解线性方程组

解

相应的阶梯型方程组为：

显然原方程组无解。

作为对比，我们再看一个线性方程组：

解

相应的阶梯型方程组为：

显然原方程组有无穷多解，其解集为：

$\begin{cases}
x{1} = x{2}+2 \
x_{3}=-1
\end{cases}$,其中$x_2$是自由未知量，$x_1$,$x_3$是主变量。

总结：

在有理数集（或实数集，或复数集）内，n元线性方程组的解的情况有三种情况：无解，有唯一解，有无穷多个解；那么是否有且只有这三种解的情况呢？

把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为阶梯型矩阵对应的阶梯型方程组如果出现”0=d(其中d是非零数)”，那么原方程组无解；否则原方程组有解。

当有解时，若阶梯型矩阵的非零行的数目r=n（未知数目），则原方程组有唯一解，若阶梯型矩阵的非零行的数目r<n（未知数目），则原方程组有无穷多解。

线性方程组解的情况及其判别公式

下面证明上一节提出的问题：在有理数集（或实数集，或复数集）内，n元线性方程组的解的情况是否有且只有三种情况：无解，有唯一解，有无穷多个解？

证：n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯型矩阵A

设A有r个非零行，显然A有n+1列。

情形1.A出现“0=d(d是非零数)”，则原方程组无解

情形2.A不出现“0=d(d是非零数)”，则A的第r个主元$b_{rt}$所在列的$r\le n$,又有$t\ge r$，所以$n\ge r$。

情形2.1 r=n,此时A有n个主元，则第几行的主元就在第几列。

此时有

$c_n$所在行下有若干行0行，$(c_1,c_2,…c_n)$为原方程组的唯一解。

情形2.2 r<n

r<n时，首先把x1的系数非零的行移到第一行，其他的依次按顺序排列，x2的系数非零的行在第二行，系数非零的x2所在列设为$J_2$,剩下的依次类推。

然后把方程的除$x1,x{j2}…x{j_r}$外的项移到右边，则有

因为r<n，所以右边有至少一个自由未知量，则原方程组有无穷多个解。

齐次线性方程组

对于齐次线性方程组：

(0,0,…,0)是方程组的一个解，称为0解，其余的解（如果有）称为非零解。

因为线性方程组只有无解，唯一解，和无穷多解；齐次线性方程组已经有了0解，所以齐次线性方程组的解的情况只有唯一解，和无穷多解两种可能。

推论-1：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件$\Leftrightarrow $

系数矩阵经过初等行变换的阶梯型矩阵的非零行数目r<n

推论-2：n元齐次线性方程组有非零解的充分条件$\Rightarrow $

若方程个数S<n,则原方程有非零解。

但以上定理和推论要求在实数集或有理数集内，如果是整数集 内，则会不满足，比如2x=1在整数集内是无解的，即整数集不满足加减乘除的封闭。

定义1：复数集的一个非零子集K如果满足

(1).0,1$\in$K;

(2).$a,b\in K \Rightarrow a\pm b,ab\in K,\a,b\in K且b\ne 0 \Rightarrow \frac{a}{b}\in K $

那么称K是一个数域。

有理数域：Q,实数域：R,复数域：C

其中有理数域是最小的数域，复数域是最大的数域。

在讨论完使用非零行数目判断线性方程组的解的情况的判别后，我们发现这种判断解的情况的方法太过笨重，需要在几乎完成了矩阵的初等行变换后才得到，下面讨论在进行初等行变换前就先判断解的情况的方法。

例1：判断线性方程组的解的情况

$其中a{11},a{21}不全为0，不妨设a_{11}\ne0$

方程组对应的增广矩阵的变化如下：

情形1.$a{11}a{22}-a{21}a{12} \ne0有唯一解$

情形2.$a{11}a{22}-a{21}a{12} =0$,无解或有无穷多个解

我们发现，有唯一解的条件不太好记，我们用一个行列式来表示：

n阶行列式

上节谈到，为了方便表示和记住解的判断条件，我们用行列式来表示条件：

此时，我们称这个行列式为2阶行列式，也称为矩阵A的行列式，记作|A|或detA。

数域K上系数矩阵为A的二元一次方程组有唯一解的条件充要条件是|A|$\ne0$。

n阶行列式的定义

我们通过观察2阶行列式的形式来推测n阶行列式的定义：2阶行列式中，每一项是不同行，不同列的2个元素的乘积。在观察2阶及3阶行列式的规律后发现每一项按行指标或列指标顺序排列，且各项系数为2!，3！的各项，还有各项的正负和各项数字的顺序有关比如11为正，21就为负。因此我们发现要讨论n阶行列式的一般性的公式前我们先要讨论一下n元排列和排列的相关性质。

n元排列

1，2，…n的一个全排列称为一个n元排列（或n个不同的正整数），n元排列有n！个。例如3！有123，132，213，231，312，321，6个

排列的逆序数：

例如对于4元排列：2431，从左到右，顺序（从小到大）的数对有：24，23；逆序（从大到小）的数对有：21，43，41，31.逆序的数对数目称为排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

对换：

交换一个排列中的两个数的位置叫对换。比如交换2431中的24变为4231，2431为偶函数，4231为奇函数。我们发现对换改变排列的奇偶性，下面给出证明。

证：

1.先看对换的两个数相邻的情形：

$p…ij…q\to p…ji…q$

对于ij前的任意一个数p，交换 ij的位置对pi,pj数对的顺序或逆序的性质不变，同样的对于ij后的任意一个数q，交换 ij的位置对qi,qj数对的顺序或逆序的性质不变.因此只有一个数对ij变成ji后顺序逆序的性质相反，所以整体排列的奇偶性改变。

2.再看对换的两个数不相邻的情形：

$p…ik_1…k_nj…q\to p…jk_1…k_ni…q$

我们将这个情形拆成若干个相邻数交换的步骤：

任一n元排列$j1j2…jn$与123…n经过一系列的对换的次数与$j1j2…jn$有相同的奇偶性。

定理2：任意一个排列经过对换变成自然序列的次数和它的逆序数的奇偶性相同。

n阶行列式的定义

定义1 n阶行列式

是n!项的代数和，其中每一项是不同行，不同列的n个元素的乘积。

每一项按行指标成自然排序排好位置，当列指标形成的排列为偶排列，该项带正号，当列指标形成的排列为奇排列，该项带负号。

A的行列式：|A|或detA